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RSS订阅原创 Distributions & Currents
Set DRnC0∞Rnfϕ∈DRnIf ffkϕ−1k∫fϕkk123...kto (−1k∫fϕkRnk-norm on DRn1.1Let Ω⊂RnΩ′Ω∈Ωxon DΩxϕϕxnδ0nK∣fx∣dx∞⊂Ω;dxfϕ∫Ωϕxfxdxϕ∈DΩf∈D′Ωif α∈。
2023-09-19 19:19:34
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原创 微分几何笔记(10) —— 纤维丛
温馨提示：本文大量参考 GTM20 Fibre Bundles [Hus94]\text{[Hus94]}[Hus94] 一书前三章，目的是引入纤维丛的概念。这本书的主线还是相当清晰的，先给出最泛的丛的概念，再逐步的通过增加条件，来得到更具体的丛。10.1 丛与截面定义 10.1.1 丛 (Bundle)：是指一个三元组 ξ=(E,p,B)\xi=(E,p,B)ξ=(E,p,B)，其中 p:E→Bp:E\rightarrow Bp:E→B 为一映射。其中 EEE 称为 total space，BBB 称
2020-06-21 00:11:42
1409
原创 微分几何笔记(9) —— 切丛，余切丛
继续上篇的内容。9.1 切丛在上篇中我们已经定义了 nnn 维光滑流形 MMM 上每一点处的切空间，把每一点处的切空间无交并起来就得到了所谓的切丛 (Tangent bundle) 。一个很形象的比喻就是将底空间 MMM 想象为土地，一点处的切空间视作长出来的草，那么切丛就是整个连带着土地的草丛。定义 9.1.1 光滑流形 MMM 的切丛 TMTMTM 是指：TM=⨆p∈MTpM.TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM.TM=p∈M⨆TpM.切丛中的元素首先当然是切空间 TpMT_
2020-06-20 12:15:40
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原创 Dijkstra算法及其实现
经过这一学期的学习，实际上感觉自己对运筹仍然理解浅显。特别是在问老师单纯形法当目标函数要求最大，检验数相同时，是否选取 θi\theta_iθi 越小的出基变量能更快求得最优解时，才明白单纯形法也不过是在可行域中，对顶点进行一种枚举，这一本质从第二章线性规划与单纯形法一直延续到第六章整数线性规划，之所以需要约定例如取检验数 σi\sigma_iσi 最大的变量为入基变量，主要是为了在处理自变量非常多的优化问题时，易于编程。从而我又意识到，运筹是一门与实际联系非常紧密的学科，所以算法的时间复杂度也应该是
2020-06-09 13:53:39
850
原创 系数同调习题
证：对任意 iii，我们有链复形间的同态映射：Ci(X)⟶nCi(X),σ↦nσ,C_i(X)\stackrel{n}{\longrightarrow}C_i(X), \sigma\mapsto n\sigma,Ci(X)⟶nCi(X),σ↦nσ,以及Ci(X)⟶Ci(X;Zn),kσ↦(k modn)σ,C_i(X)\stackrel{}{\longrightarrow}C_i(X;\mathbb{Z}_n),k\sigma\mapsto (k\text{ mod}n)\sigm.
2020-05-30 23:51:45
274
原创 联络习题
Proof:Suppose we have a linear connection ∇\nabla∇ on MMM, then for each curve γ:I→M\gamma: I\rightarrow Mγ:I→M, we can define a unique covariant derivative operator Dt:X(γ)→X(γ)D_t:\mathscr{X}(\gamma)\rightarrow\mathscr{X}(\gamma)Dt:X(γ)→X(γ), s.t.:(1.
2020-05-24 00:24:35
215
原创 Riemann度量习题
For an open neighborhood U⊂MU\subset MU⊂M, show that there exists a local orthonormal basis {ωi}⊂Γ(T∗U)\{\omega_i\}\subset \Gamma(T^*U){ωi}⊂Γ(T∗U), such that g∣U=∑(ωi)2g|_U=\sum(\omega_i)^2g∣U=∑(ωi)2.Proof:For a (0,2)(0,2)(0,2)-tensor h∈Γ(T(0,2)M)..
2020-05-16 10:24:40
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转载 斯托克斯定理，de Rham上同调习题
(1) For an orientable manifold MMM with boundary ∂M\partial M∂M, show that:∙\bullet∙ there is a non-vanishing outer normal vector field NNN on ∂M\partial M∂M;∙\bullet∙ given an orientation n-form Ω∈Λn(M)\Omega\in\Lambda^n(M)Ω∈Λn(M), the form:Ω′=(ιNΩ)∣∂M
2020-05-13 21:58:14
562
原创 可定向曲面习题
Prove that a co-dimensional kkk submanifold given by the level set of a full-rank vector-valued function F:Rn+k→RkF : \mathbb{R}^{n+k}\rightarrow \mathbb{R}^kF:Rn+k→Rk is orientable. Please construc...
2020-05-03 20:23:18
645
原创 切除定理习题
证：归纳证明，首先对于 Δ1\Delta^1Δ1，t0≤t1t_0\leq t_1t0≤t1 即为重心重分中的 [b,v0][b,v_0][b,v0]，t1≤t0t_1\leq t_0t1≤t0 为 [b,v1][b,v_1][b,v1]；假设 Δn−1\Delta^{n-1}Δn−1 中，ti1≤⋯≤tint_{i_1}\leq\dots\leq t_{i_{n}}ti1≤...
2020-05-03 15:30:03
393
原创 正合列习题
证：(a)(⇒)(\Rightarrow)(⇒) 在课堂上已经证过，由正合列的定义即得。(⇐)(\Leftarrow)(⇐) 因为是正合列且 iii 是满的，所以 ker j=Im i=B\text{ker } j=\text{Im } i=Bker j=Im i=B，又因为 lll 是单的，所以 ker l=Im k=0\tex...
2020-04-26 21:43:02
1037
原创 张量习题
1.Prove that v1,…,vr∈V∗v_1,\dots,v_r\in V^*v1,…,vr∈V∗ is linearly dependent if and only ifv1∧⋯∧vr=0v_1\wedge\dots\wedge v_r=0v1∧⋯∧vr=0Proof:If v1,… .vrv^1,\dots.v^rv1,….vr is linearly dependent...
2020-04-19 22:23:06
628
原创 单纯同调与奇异同调 习题
证：给定Δ2\Delta^2Δ2的定向如上图，三个顶点粘合为一个点，记作ppp，中间的二维单形记为UUU.可写出XXX的链群：Δ0(X)=Z⋅p\Delta_0(X)=\mathbb{Z}\cdot pΔ0(X)=Z⋅pΔ1(X)=Z⋅a⊕Z⋅b⊕Z⋅c\Delta_1(X)=\mathbb{Z}\cdot a\oplus \mathbb{Z}\cdot b\oplus \mathb...
2020-04-19 15:16:36
805
原创 覆叠空间习题
Show that the cotangent space Tp∗MT_p^*MTp∗M is an n-dimensional vector space by showing that {dxi∣p}⊂Tp∗M\{dx^i|_p\}\subset T_p^*M{dxi∣p}⊂Tp∗M forms a basis. Moreover, Tp∗MT_p^*MTp∗M is the dual...
2020-04-18 16:47:15
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原创 微分几何笔记(7) —— 光滑微分流形
从这篇开始讲讲光滑微分流形。第一次学到流形是在尤承业的基础拓扑学讲义中的拓扑流形，也就是具有Hausdorff性质的拓扑，而且每一点都有一个同胚于欧氏空间Rn的开邻域\textbf{每一点都有一个同胚于欧氏空间}\mathbb{R}^n\textbf{的开邻域}每一点都有一个同胚于欧氏空间Rn的开邻域，并且这个流形的维数顺势定义为nnn. 下面关于流形维数的定义啰嗦几句：这里的定...
2020-04-04 18:46:57
2950
原创 切向量，切空间，余切空间习题
\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{geometry}\usepackage{graphicx}\usepackage{subfigure}\geometry{left=2.0cm,right=2.0cm,top=2...
2020-03-15 13:25:09
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原创 微分几何笔记(4) —— 二维三维空间中曲线的曲率以及环绕数
本篇文章我们从一般化的 Rn\mathbb{R}^nRn 空间回到我们生活的 R2,R3\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3R2,R3空间，看看低维空间中的曲线有哪些性质，主要计算下在非弧长参数下的曲线，曲率挠率的一般表达式。...
2019-10-14 21:46:13
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原创 微分几何笔记(3) —— Frenet标架及Frenet方程组
本篇就算正式进入微分几何的大门了。来讲讲Frenet标架(Frenet Frame)这个在19世纪中期就已经被提出的“古老”想法。3.1 Frenet标架
2019-10-09 19:13:41
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原创 微分几何笔记(2) —— 曲线的参数化
第二周讲完了Klingenberg的第一章，做一点微小的笔记。GTM51对入门者会难一些，因为直接从最一般的nnn维情况入手，再回头看二三维空间中的曲线，相比之下Calculus and Analysis in Euclidean Space这本UTM的Chapter 8 Parametrized Curves 算是相当新手友好的入门内容，由二三维曲线推广到一般情况。借用宋老师的话，微分几何的...
2019-10-07 00:34:01
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原创 微分几何笔记(1) —— 预备知识 & Proof of Mazur-Ulam Theorem
上来先开了一大堆坑，不知道要填到什么时候，有点自闭，不想学习的时候就写一写吧这个算是本科微分几何课程的笔记整理，主要涉及中的的曲线和中的曲面，follow的是Klingenberg的A Course in Differential Geometry.说到这我想起来，刚开学时向修过的同学要实体书，自己打的是Kallenberg，闹了笑话。原因是记得大二时去某校的暑期学校，概率论讨论班用书是他...
2019-09-20 00:15:23
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原创 第一篇CSDN博客
第一次用CSDN写博客纯编程菜鸟，志向成为一名算法工程师信息与计算数学系大三狗 因为经常感觉学完的东西记不住，还是得产出点什么才行；另一方面本身字写得太丑，干脆就写网络博客好了。 可能以后会写一些关于数学，关于算法的博客 请千万不要期待博客可能将会涉及的内容有：数学（数学系难度）matlab,python,c/c++中的菜鸟调包代码算法竞赛入门经典的大段照抄的原文...
2019-09-14 00:37:37
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原创 Make your own neural network —— 在MNIST数据集上做手写数字识别
To really understand something, you need to make it yourself.最近因为大创需要，要学习如何实现一个BP神经网络，听人说这本书不错，就找来看了，确实很适合入门，公式一点一点推的，代码一行一行讲的。这本书实在是太科普了，建议直接读书就好了。分为以下几部分：一， 理解BP神经网络二， Python实现神经网络三， 应用在...
2019-09-14 00:32:13
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原创 一些python小技巧
快捷键：Ctrl+[ : 光标回到行首Ctrl+] : 光标回到行末（在注释中不可用）Alt+左键：多个光标，可同时输入或者删除显示程序运行的时间：from time import timet1 = time()# programt2 = time()print(t2-t1)matplotlib最后要显示图片需要加：...
2019-09-10 13:22:41
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原创 Complex Analysis(1)
In this series, I will summarize some meaningful conclusions as well as the poofs in the book Complex Analysis by Elias M. Stein and Rami Shakarchi.I start from the first chapter, preliminaries to c...
2019-09-02 20:14:41
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空空如也
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