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原创 关于高等数学学习笔记
这个完全是个人的一个兴趣爱好,按照高等数学 同济大学第七版学习,写出来的部分是个人认为重要的部分,可能会有所修改,或者加上一切个人看法,不喜勿喷....
2020-03-17 16:50:45
300
原创 高等数学学习笔记DAY24
闭区间上连续函数的性质一直连续性先介绍函数的一直连续性概念.设函数在区间 III 上连续,x0x_0x0 是在 III 上的任意取定的一个点.由于 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 连续,因此 ∀ε>0\forall\varepsilon>0∀ε>0,∃ δ>0\exists\ \delta>0∃ δ>0,使得当 ∣x...
2020-04-14 17:40:35
208
原创 CF1335E Three Blocks Palindrome
题目大意给出一个序列,找到一个最长的子序列,使得子序列满足 [a,a,…,a⏟xb,b,…,b⏟ya,a,…,a⏟]x\begin{matrix}[\underbrace{a,a,\dots,a}\\x\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{b,b,\dots,b}\\y\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{a,a,\do...
2020-04-14 10:57:39
207
原创 高等数学学习笔记DAY23
闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理先说明最大值和最小值的概念.对于区间 III 上有定义的函数 f(x)f(x)f(x),如果有 x0∈Ix_0\in Ix0∈I,使得 ∀x∈I\forall x\in I∀x∈I,∃ f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))\exists\ f(x)\leq f(x_0)(f(x)\geq f(x_0))∃ f(x)≤f...
2020-04-13 17:27:22
384
1
原创 高等数学学习笔记DAY22
连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在他们的定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间,就是包含定义域内的区间.根据函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 连续的定义,如果已知 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 连续,那么求 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0x\to x_0x→x0 的极限时,只要求...
2020-04-10 18:11:03
144
原创 CF911G Mass Change Queries
题目大意给出一个序列,支持区间将某个数变为某个数,输出最终的序列.分析序列中的元素只有 100100100 种,所以直接线段树上每个节点记录每个数出现的次数就好了.但是,这样的做法时间复杂度并不优秀.那么就从这个输出去考虑,可以发现在最终结果前没有必要知道每个点确切的值,那么考虑对每一种数建一颗线段树,将一种颜色变为令一种颜色只需要在原来的线段树中将修改区间部分分裂出来,在合并到变成的颜...
2020-04-10 14:01:36
137
原创 CF689D Friends and Subsequences
题目大意给出两个长度为 nnn 的序列 aaa 和 bbb,计算有多少对 l,rl,rl,r 满足 max{al,al+1,…,ar−1,ar}=min{bl,bl+1,…,br−1,br}\max\{a_l,a_{l+1},\dots,a_{r-1},a_r\}=\min\{b_l,b_{l+1},\dots,b_{r-1},b_r\}max{al,al+1,…,ar−1,ar}=...
2020-04-10 10:09:15
114
原创 高等数学学习笔记DAY21
连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的四则运算的连续性由函数在某点连续和极限的四则运算,可以得到以下定理:定理1设函数 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 在点 x0x_0x0 处连续,则它们的和(差)f±gf\pm gf±g,积 f⋅gf\cdot gf⋅g,商 fg(g≠0)\frac{f}{g}(g\not=0)gf(g=0)都在点 x0x_0x0...
2020-04-09 19:33:01
153
原创 高等数学学习笔记DAY20
函数的连续性与间断点函数的间断点设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数 f(x)f(x)f(x) 有下列三种情形之一:在 x=x0x=x_0x=x0 没有定义;虽然在 x=x0x=x_0x=x0 有定义,但 limx→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x)limx→x0f(x) 不存在;虽然在 x=x0...
2020-04-08 17:03:38
134
原创 高等数学学习笔记 DAY19
函数的连续性与间断点函数的连续性定义设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某一邻域内有定义,如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0,\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0,Δx→0limΔy=Δx→0lim...
2020-04-07 17:45:27
144
原创 P6242 【模板】线段树 3
吉老师线段树模板题,如果想要知道更多可以去看看2016年的国集论文.分析先来看5个操作(第一感觉):区间加,只要用懒标记搞一下就好了.区间取min,吉老师线段树基本操作,记录一下最大值,最大值出现次数,严格次大值就好了.区间和,直接维护就好了.区间max,已经维护了.区间历史max,维护一下最大加标记就好了.然后您就可以得到30分的好成绩.考虑一下这个做法有什么问题.可以发...
2020-04-07 10:11:59
237
原创 高等数学学习笔记DAY18
函数连续性与间断点函数的连续性自然界中有许多现象,如气温的变化,河水的流动,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的间断点.下面我们引出增量的概念,然后描述连续性,然后来描述连续性,并引出函数连续性的定义.设一个变量 uuu 从它的一个初值 u1u_1u1 变到终值 u2u_2u2,终值与初值的差 u2−u1u_2-u_1u2−u1 就叫做变量 uuu ...
2020-04-03 20:11:29
131
原创 高等数学学习笔记DAY17
无穷小的比较定理1β\betaβ 和 α\alphaα 是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α).\beta=\alpha+o(\alpha).β=α+o(α).证:必要性:设 α∼β\alpha\sim\betaα∼β,则limβ−αα=lim(βα−1)=limβα−1=0,\lim\frac{\beta-\alpha}{\alpha}=\lim(\frac{\beta}{\a...
2020-04-02 19:17:02
146
原创 高等数学学习笔记DAY16
无穷小的比较关于两个无穷小的商会出现不同情况,如,当 x→0x\to 0x→0 时,3x,x2,sinx3x,x^2,\sin x3x,x2,sinx 都是无穷小,而limx→0x23x=0,limx→03xx2=∞,limx→0sinx3x=13.\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{3x}=0,\lim_{x\to0}\frac{3x}{x^2}=\infty,\lim_...
2020-04-01 20:19:02
143
原创 高等数学学习笔记DAY15
极限存在的准则 两个重要极限准则2单调有界函数必有极限.如果数列 {xn}\{x_n\}{xn} 满足x1≤x2≤x3≤⋯≤xn−1≤xn≤⋯ ,x_1\leq x_2\leq x_3\leq\cdots\leq x_{n-1}\leq x_n\leq\cdots,x1≤x2≤x3≤⋯≤xn−1≤xn≤⋯,就称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 是单调增加的;同理,如果数列 ...
2020-03-31 19:51:37
165
1
原创 高等数学学习笔记DAY14
极限存在的准则 两个重要极限下面讲判定极限存在的两个准则,以及作为应用准则的例子,讨论两个重要极限:limx→0sinxx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1limx→0xsinx=1 和 limx→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=elimx→∞(1+x1)x=e.准则1如果数列 {xn}\...
2020-03-30 20:52:43
140
原创 高等数学学习笔记DAY13
极限运算法则定理6(符合函数极限运算法则)设函数 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)] 是由函数 u=g(x)u=g(x)u=g(x) 与 y=f(u)y=f(u)y=f(u) 复合而成,f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)] 在点 x0x_0x0 的某去心邻域内有定义,若 limx→x0g(x)=u0lim_{x\to x_0}g(x)=u_0limx→x0g(x)=u0,...
2020-03-29 20:17:47
102
原创 高等数学学习笔记DAY12
极限的运算法则定理3如果 limf(x)=A\lim f(x)=Alimf(x)=A,limg(x)=B\lim g(x)=Blimg(x)=B,那么lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A+Blim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B;l...
2020-03-27 19:37:16
161
原创 高等数学学习笔记DAY11
函数的极限无穷大定理2自变量的同一变化过程中,如果 f(x)f(x)f(x) 为无穷大,那么 1f(x)\frac{1}{f(x)}f(x)1 为无穷小;反之 f(x)f(x)f(x) 为无穷小,且 f(x)≠0f(x)\not=0f(x)=0,那么 1f(x)\frac{1}{f(x)}f(x)1 为无穷大.证:设 limx→x0f(x)=∞\lim_{x\to x_0}f(...
2020-03-26 19:25:51
254
原创 高等数学学习笔记DAY10
无穷大和无穷小无穷小定义1如果函数 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0x\to x_0x→x0(或 x→∞x\to\inftyx→∞)时的极限为 000,那么函数 f(x)f(x)f(x) 为当 x→x0x\to x_0x→x0(或 x→∞x\to\inftyx→∞)时无限小.特别地,以 000 为极限的数列 {xn}\{x_n\}{xn} 称为 n→∞n\to\inftyn→∞...
2020-03-25 20:07:11
167
原创 高等数学学习笔记DAY9
函数的极限函数极限的性质与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相应性质.它们都可以根据函数极限的定义,运用类似于证明收敛数列性质的证明方法证明.由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种形式,下面仅以"limx→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x)limx→x0f(x)"这种形式为代表给出关于函数极限的一些定理,至于其他形式的定理只要稍作改变即可.定理1(函数极限...
2020-03-24 20:29:57
95
原创 高等数学学习笔记DAY8
函数是极限函数极限的定义自变量趋近于有限值时函数的极限定义1(接上)我们指出,定义中 0<∣x−x0∣0<|x-x_0|0<∣x−x0∣ 表示 x≠x0x\not=x_0x=x0,所以 x→x0x\to x_0x→x0 时 f(x)f(x)f(x) 有没有极限,与 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 是否有定义无关.定义1可以简单地表述为 l...
2020-03-23 19:52:09
144
原创 P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序(在线做法)
分享一种本题不用STL的在线做法.题目大意给出一个 111 到 nnn 的排列,区间排序和单点查询.分析本题有一种通过二分做到的 O(mlog22n)\mathcal{O}(mlog_2^2n)O(mlog22n) 的做法,但是理解起来比较麻烦,而且时间复杂度也比较高,而且只可以查询一个数,甚至不可以在线做,显然这个方法并不优秀,那么是否存在一种容易理解且有着优秀时间复杂度的做法呢,这显...
2020-03-23 17:22:19
184
原创 高等数学学习笔记 DAY7
函数的极限函数极限的定义因为数列 {xn}\{x_n\}{xn} 可以看作自变量 nnn 的函数:xn=f(n)x_n=f(n)xn=f(n),n∈N+n\in \mathbb{N}_+n∈N+,所以数列 xnx_nxn 的极限为 aaa,就是:当自变量取正整数而无线增大(即 n→∞n\to\inftyn→∞)时,对应的函数值 f(n)f(n)f(n) 无限接近于确定的数 aaa.把数...
2020-03-22 20:06:26
122
原创 高等数学学习笔记 DAY6
数列的极限收敛数列的性质定义1(极限的唯一性)如果数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛,那么它的极限唯一.证: 用反证法,假设数列 {xn}\{x_n\}{xn} 同时有 xn→ax_n\to axn→a 和 xn→bx_n\to bxn→b,且 a<ba<ba<b.取 ε=b−a2\varepsilon=\frac{b-a}{2}ε=2b−a.因为 l...
2020-03-21 19:20:37
357
原创 高等数学学习笔记 DAY5
数列的极限数列极限的定义极限的概念是在探求实际问题的精确解答中诞生的(如割圆法).以割圆法为例,设有一圆,首先做其内正六边形,把它的面积记为 A1A_1A1;再作其内接正十二边形,其z面积记为 A2A_2A2;再作其内接正二十四边形,其面积记为 A3A_3A3;如此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正 6×2n−16\times 2^{n-1}6×2n−1 边形的面积记为 An(n∈N...
2020-03-20 20:47:19
147
原创 高等数学学习笔记 DAY4
函数反函数和复合函数作为逆映射的特例,我们有以下反函数的概念:设函数 f:D→f(D)f:D\to f(D)f:D→f(D) 是单射,则它存在逆映射 f−1:f(D)→Df^{-1}:f(D)\to Df−1:f(D)→D,称此映射 f−1f^{-1}f−1 为函数 f(x)f(x)f(x) 的反函数.按此定义,对于每个 y∈f(D)y\in f(D)y∈f(D),有唯一的 x∈Dx\in...
2020-03-19 16:59:58
197
原创 P6166 [IOI2012]scrivener
题目大意给出一个空字符串支持在末尾加上一个字符,查询某个位置的字符,回到 kkk 个操作前.分析显然的可持久化数组,可以通过可持久化线段树实现,为了方便处理,开始的区间是 111 到 100000010000001000000 开始,这样保证不会出问题,加上一个数就直接单点修改,查询也只要直接单点查询,对于每次修改对于修改的区间部分产生一个新的版本,其他仍然用之前版本的部分.代码#inc...
2020-03-18 20:25:16
154
原创 高等数学学习笔记 DAY3
函数函数的几种特性函数的有界性设函数 f(x)f(x)f(x) 的定义域为 DDD,数集 X⊂DX \subset DX⊂D.如果存在数 K1K_1K1 ,使得f(x)≤k1f(x)\leq k_1f(x)≤k1对任一 x∈Xx\in Xx∈X 都成立,那么称函数 f(x)f(x)f(x) 在 XXX 上有上界,而 K1K_1K1 称为函数 f(x)f(x)f(x) 在 XXX 上的一...
2020-03-18 17:01:29
163
1
原创 高等数学学习笔记 DAY2
函数函数的概念定义设数集 D⊂RD\subset \mathbb{R}D⊂R,则称映射 f:D→Rf:D\to \mathbb{R}f:D→R 为定义在 DDD 上的函数,通常记为其中 xxx 称为自变量,yyy 称为因变量,DDD 称为定义域,记作 DfD_fDf,即 Df=DD_f=DDf=D.函数的定义中,对于每个 x∈Dx\in Dx∈D,按法则对应 fff,总有位移确定的值 ...
2020-03-17 16:43:26
216
2
原创 高等数学学习笔记 DAY1
映射与函数映射的概念定义设 X,YX,YX,Y 是两个非空集合,如果存在一个法则 fff,使得对 XXX 中每一个元素 xxx,按法则 fff,在 YYY 中有位移确定的元素 yyy 与之对应,那么称 fff 为从 XXX 到 YYY 的映射,记作:f:X→Y,f:X\to Y,f:X→Y,其中 yyy 称为元素 xxx(在映射 fff 下)的像,并记作 f(x)f(x)f(x),即:y=...
2020-03-16 17:03:14
184
2
原创 CF1325D Ehab the Xorcist
题目大意给出 uuu 和 vvv两个数,需要构造出最短的且异或和为 uuu,和为 vvv 的序列.分析(分析均在二进制下)先考虑不存在的情况,可以发现如果 u>vu>vu>v 显然是不存在的,在考虑每加入一个新的数,如果是奇数,那么异或和最后一位会异或上 111,和的最后一位也会异或上 111,如果加的偶数则最后后一位不会变化,所以必须 uuu 和 vvv 奇偶性相同时才...
2020-03-15 10:16:20
127
原创 CF1325C Ehab and Path-etic MEXs
CF神奇构造题题目大意给出一颗 NNN 个节点树,每条边有边权,边权为 000 到 N−2N-2N−2 的整数,且不重复,使得任意两点的简单路径的MEX的最大值最小.(MEX指第一个没有出现过的非负整数)分析对于MEX最重要自然是 000,而且因为是树,所以必然可以做到将 000 和 111 放入同一条树链中,那么就要考虑 222 的位置了,不可以让他出现在这条树链中,理解一下就是必须有一...
2020-03-15 09:17:04
227
原创 CF1324A Yet Another Tetris Problem
闲得无聊,发个位运算版题解,谔谔题目大意给出一个序列 aaa,每次操作可以在任何一个元素加上 222,问最后是否可以使得所有元素相等.分析可以发现最大值 −-− 当前位置要是一个偶数,那么再理解一下就是所有元素的奇偶性相同,那么可以维护一个 andandand 和,以及一个 ororor 和,最后看二进制最后一位就好了.代码#include<bits/stdc++.h>#...
2020-03-13 08:54:31
112
原创 P4175 [CTSC2008]网络管理
题目大意给出一棵树,每个点有一个权值,支持查询树链上第 kkk 大数和单点修改.分析先把修改操作去掉开始(题目),不带修改树链第 kkk 大,要查询第 kkk 大就很容易想到用一些数据结构维护(废话),例如权值线段树,平衡树等等.先从一个看似不相关的问题开始考虑,计算一条树链上所有数的和需要怎么办?很显然这个东西可以树剖一下,再用前缀和优化,可以做到 O(log2N)\mathcal{O...
2020-03-10 19:47:01
157
原创 P3799 妖梦拼木棒
题目大意给出 NNN 根木棒,求出在这些木棒中选出 444 根组成等腰三角形的方案数.分析四根木棒要组成一个等腰三角形只有当两根木棒的长度相同,另外两根木棒的长度和与这两根木棒长度相同时才行.于是可以预处理一个数组 ppp,pip_ipi 表示选两根木棒的长度和为 iii 的方案数,这样对于长度为 kkk 的等腰三角形的个数就是 Csumk2×pkC_{sum_k}^2\times p_...
2020-03-06 17:11:30
135
原创 P6157 有趣的游戏
本篇题解不需要维护严格前四大值,也不需要会STL,适合各种语言的选手看思路.题目大意给出一颗有点权的无根树,支持单点修改(加上一个数),在树链上插叙两个点的点权(wi,wjw_i,w_jwi,wj)使得 wimod wjw_i \mod w_jwimodwj 最大,且 wi≠wjw_i \not= w_jwi=wj,以及在去掉这两个点后的整颗树上查询两个点的点权(wq,wp...
2020-03-03 14:43:08
272
原创 P5826 【模板】子序列自动机
不会用STL的路过题目大意给出一个序列 aaa 和一些序列,需要判断这些序列是否是 aaa 的字序列.分析这篇文章不会用到vector,保证可以让pascal等语言的用户也看懂并且可以轻松实现.序列自动机如何快速判断一个序列是否是另一个序列的子序列,这时就可以用到序列自动机了,对于暴力的做法可以枚举需要查询的序列的第 iii 个位置,在用一个类似指针的东西枚举在原序列中的下一个相等的位...
2020-02-29 18:47:18
213
原创 P4247 [清华集训2012]序列操作
题目大意给出一个序列,支持区间加,区间变为相反数,查询区间中取 ccc 个数的乘积的所有方案的总和.分析先从没有修改开始,查询区间中选 ccc 个数乘积的所有方案的总和,ccc 的范围很小,所以可以想到用线段树维护,对于每个节点维护一个数组 fff,fif_ifi 表示这个节点的区间中选 iii 个数的乘积的所有方案的总和,至于合并,可以枚举两颗子树中选取的数的个数,然后相乘计算贡献(相当...
2020-02-28 20:20:19
158
pascal 跑车
2018-09-08
空空如也
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