本书是一本现代Riemann(黎曼)几何的简明教材, 共分两部分. 第一部分 为一至四章, 介绍Riemann 几何的基础知识, 内容包括多种形式的比较定理、 Calabi-Yau 体积估计、郑绍远最大直径定理和Cheeger 有限定理的讨论等. 内 容新颖且简单明了, 尤其是比较定理的证明采用常微不等式的方法, 不同于经 典的变分方法, 新的证明和讨论通俗易懂、简易明畅. 本书的第二部分包括第 五、六和七章, 分别讨论测地流、负曲率流形和正曲率流形这三大现代 Riemann 几何研究领域的最新成果, 许多新的研究结果如Cheeger-Gromoll 灵魂猜想的新证明都是第一次在中外几何教科书中出现. 本书可供从事Riemann 几何相关领域研究的学者参考, 也可作为高年级 本科生和研究生的教材和参考书.