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重要性采样概述计算积分需要利用蒙特卡洛方法去近似，蒙特卡洛方法我这里就不讲了，有兴趣的可以看看我的知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/111736781
2022-06-23 23:02:44
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原创 环境光重要性采样
重要性采样概述计算积分需要利用蒙特卡洛方法去近似，蒙特卡洛方法我这里就不讲了，有兴趣的可以看看我的知乎：蒙特卡洛方法的简单总结 - 知乎重要性采样的目的就是加快收敛速度，所以选择pdf比较重要。所以对于环境光采样，我们需要知道环境光每个方向上的概率密度。环境光贴图环境光贴图能用整个球的所有方向去采样，球面方向能转成极坐标θ[0, π]和φ[0, 2π]表示，所以我们用经纬图(long_latitude_map)来做环境光贴图。维度可以用θ，经度用φ，例如地球仪的贴图展开：采样
2022-03-20 22:00:04
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原创 Ray-Triangle intersection
思路概述射线和三角形求交的思路很简单，求出射线和三角形所在的平面的交点，然后算这个交点的在三角形的重心坐标，重心坐标在[0, 1]之间，说明射线和三角形相交，否则不xinagjia
2021-06-21 00:29:04
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原创 Linear approximation笔记
函数f的二阶导数f''有什么用？在一个很短的间隔内，二阶导数可以非常好地利用二次多项式（quadratic polynomial）去近似一个函数。那接下来我们的目的就是找出这个二次多项式。利用单调性，f'' > 0，f'递增，可以预测f也是递增。那么我们的目的就是用f''去预测f是怎么样的。假设f''在区间[a, b]能满足如下不等式： (1)根据上面不等式，有M - f''(x) ≥ 0，这个不等式可以看作是函数g(x) = Mx - f'(x)的导数。...
2020-10-03 23:06:16
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原创 PBRT-V3体渲染笔记
一 基本原理整理影响radiance在参与介质分布的三个过程：Absortion，Emission，Scattering（分为out-scattering和in-scattering）。Absortion吸收系数为σa，入射radiance Li经过距离dt，吸收后的出射radiance Lo的关系如下： (1)对上式解微分方程得到一个值，表示经过d距离后的剩余比例： (2)Emission这个没什么好说的，直接上公式：Out-Scatterin...
2020-08-27 17:02:54
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原创 pbrt Specular Transmission笔记
平面上各符号定义如下：目标：求出Lt和Li的关系，即ωt方向的出射光的radiance。定义Fresnel反射是Fr。入射的flux是Φi，反射出去的flux就是Φo = FrΦi，根据能量守恒，折射出去的flux就是Φt =(1 - Fr)Φi。根据入射的radiance定义：Φi = Li cosθi dA dωi。Φt = Lt cosθt dA dωt。Lt cosθt dA dωt =(1 - Fr)Li cosθi dA dωi由dω = sin...
2020-06-17 11:38:31
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原创 pbrt Sampling sphere笔记
Sampling a Cone首先说一下圆锥的方向采样。圆锥可以理解成球的一部分，当θmax = π/2的时候，采样圆锥相当于采样半球；当θmax = π时，相当于采样整个球。在圆锥上均匀采样方向，概率密度p(ω)是一个常数p(ω) = c = 1/s；在球面中，s的面积是：那么根据概率密度函数的转换：根据边际概率密度函数：由累积概率函数得到：随机数可写成：cosθ = 1 - ξ1(1 - cosθmax) = 1 - ξ1 + ξ1cosθmax。
2020-06-10 17:49:43
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原创 Torrance–Sparrow BRDF Model公式推导
在微表面下，反射模型是perfectly specular，所以微表面法线h符合下面公式：为了后面推导，把ωh，n，ωo和ωi的关系用下图来表示清楚：由于法线分布函数符合下面公式：上面两边乘以dA，得到：ωh方向的微分面积可以这样表示：在单位半球里的数值和面积一样，那么可以理解为：单位半球里朝向ωh方向的面积。但这个时候，他的数值是基于表面面积是1的情况下。但由于我们处理的是微分面积下的情况，所以要乘以dA。...
2020-05-27 18:08:24
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原创 Mipmap笔记
为何要使用mipmap如上图，假设像素覆盖的纹理范围是上图中的黑点的连线范围，那么在连线范围内的纹素(texel)都对改像素有贡献，要做的filter的半径就比较大，效率就低。解决办法就是prefilter texel，额外把prefilter后的texel存下来，即mipmap。Triangle Filter下的mipmap level选取像素覆盖的texel的范围：（s和t方向）。原则，filter width刚好覆盖选择level的4个texel。如果mipmap层的.
2020-05-25 20:18:09
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原创 实时pbr之Split Sum Approximation笔记
蒙特卡洛方法求反射方程：上面的式子，仔细看会发现，只是针对一个v的方向，而实际上我们的v方向是任意的。于是epic game发明了一个方法用于解决这个问题，叫Split Sum Approximation：上式左边积分值存在cubemap里，右边需要存在一个brdf lut纹理里。这里不说左边的操作，只说右边如何拆分。由于pdf(h) = 4(v·h)pdf(l)，参考：微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导。上面式子可以写成：..
2020-05-21 09:40:55
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原创 微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导
微表面的法线分布定义如下：其中D(h)是法线分布函数，cosθh是N dot h。根据概率密度函数的转换：p(θ, φ) = sinθp(ω)根据边际概率密度：求条件概率：分别求θ和φ的概率累积函数：上面的积分非常难求，我在https://www.symbolab.com/上解出来。通过代数求得：φ的概率累积函数：...
2020-05-19 19:02:01
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原创 Lambert漫反射模型
看了闫令琪的视频，这里简单总结一下。首先有个很重要的漫反射概念：漫反射表示的是光线到达物体表面的某一点，在以它为中心的半球内被均匀反射。经验公式两个问题：1.我们观察到的点，有多少光到达？2.有多少光被反射？从上图可以看出，当face旋转了60°后，同样到达top face（我这里定义成dA）的光量变成一般即cos(π/3) = 1/2。可以得出结论：单位面积接收的...
2020-04-30 12:02:24
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原创 PBRT里的相机系统
PBRT中，他定义的NDC坐标系和我们图形学里的不一样。图形学中NDC是[-1, 1]³；而PBRT中的NDC如下图：正交投影摄像机当前的坐标是原点坐标，正交投影的width和height暂时未知。这里可以平移-n把n移到原点。缩放矩阵：因此正交投影矩阵是：由于在pbrt中的NDC，左上角是(0, 0, 0)，右下角是(1, 1, 0)。所以y的...
2020-04-29 13:45:55
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原创 PBRT中Ray–Bounds Intersections的理解
slaps in bounding box的解释：bounding box有8个点，每个点可以看成是3个slaps的intersection
2020-04-20 14:29:11
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原创 Bounding Volume Hierarchies（BVH）的理解
开篇先带两个问题：1、如何把接近的几何体划分到一个节点上？如上图所示，通过什么方式，把左下角的圆和等边三角形划分到同一个节点下？2、在射线检测中，如何做到先检测离原点最近的几何体？如上图所示，蓝色的ray最近相交点在红色的圆上，怎么做到对这个红色的圆优先检测？...
2020-04-17 10:45:29
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原创 The Light Transport Equation笔记
渲染方程：其中，Ld可以写成：其中t(p, ωi)是The ray-casting functiongives the point p' on the first surface that the ray (p, ωi) intersects.如下图所示：由于渲染方程可以先写成：...
2020-04-08 09:02:40
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原创 PBRT中Multiple Importance Sampling的解释
原型如下图所示：假设nf = ng = n。上式可以写成： (1)式由于f(X) g(X) pf(X)我们都知道了，那么我们需要求的实数Wf(X)。因为nf = ng上面红框的式子可以写成：所以当nf = ng时，wf可以写成：再看power heuristic的情况：同理，按ns = ni时，ws(x)写成：...
2020-04-01 19:37:05
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原创 微表面模型Beckmann–Spizzichino distribution的概率密度函数推导
微表面的法线分布定义如下： 得到： 1)式 所以得到以下式子：因为θ和φ独立，，，得： (2)式看Beckmann–Spizzichino中，各向同性的分布定义：因为有(1)式和 p(θ, φ) = sinθp(ω)代入(2)式（见：pbrboo...
2020-03-19 15:08:59
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原创 指数分布的无记忆性
指数分布的概率密度函数：概率累积函数是：引入条件概率密度函数：先看条件概率：上式求导得到pdf函数，注意P(X∈A)是一个常数。假设随机变量T是两辆巴士的到达站的时间间隔，改变量符合参数是λ的指数分布。现有一个人在第一辆车到达后的t时间里去到该车站，因为此时第二辆车还没到达，存在了事件A = {T > t}。现假设这个人要等待下一辆车到达的时间是随机...
2020-03-14 18:22:49
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原创 绕Y轴旋转矩阵和绕任意轴旋转的解释
绕Y轴旋转矩阵如下：这里看到-sinθ在左下角，和z，x轴的旋转不一样（他们在左上角），我们来看看为什么。看看各个轴的关系：x=cross(y,z)，z=cross(x,y)，y=cross(z,x)。以下以左手坐标系为例子（右手坐标是一样的）：zb = r cos(α + φ) = r cos α cos φ - r sin α sin φ, xb = r sin(...
2019-10-10 14:47:46
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原创 组合公式C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)的解释。
先来看公式：看看first course of in Probability的解释：这里一看可能大部分人都懵逼了，我也是想了好几个小时，后面想明白了。假设有5个物体：1 2 3 4 5 任意取3个做组合C(5,3)，那么这些组合中只有两种情况：含有1的组记C1，分别是123，124，125，134，135，145。不含有1的组记C2，分别是234，2...
2019-08-10 09:55:25
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原创 FFT快速傅里叶变换的推导
离散傅里叶的计算从我的学习经验来看，如果不是对DFT非常熟悉的，可能会在理解FFT算法的时候有点懵逼。首先搞清楚，DFT计算的是什么及其公式。其中展开后得：…………上面多项式可转化为下面的矩阵：最后看到离散傅里叶就是一个复数的矩阵乘法计算。复指数的周期说明从上面看到矩阵里的元素全是复指数的幂，根据复指数W的周期性，可以推导出矩阵中相同值的元...
2019-05-10 19:09:50
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原创 射线与球相交的判断
如下图：设射线原点是A，射线方向的单位向量是B。点P在射线上的表示形式是： 再设球的原点是C，半径是R，如果点P在球面上，则有：把 P(t)=A+tB代入上式得：因为A和C是固定的两点，把A-C=D，即得然后解方程如下图：我定定义t0是近点，t1是远点，返回t0代入P(t)就是我们要求的点，代码如下：bool H...
2019-04-28 11:37:31
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原创 详细的世界坐标转屏幕坐标及投影矩阵的推导
投影矩阵网上推导一大堆，怎么构建矩阵，怎么运用透视除法等都有说，但说清楚为什么这样做的貌似不多。我现在尝试用矩阵乘法的本质去说明投影矩阵是怎么推导的。以下向量统一用列向量表示法。1.坐标转换坐标的表达形式（Fundamentals of Computer Graphics, 4th page 135）看上图，p在世界坐标系下的坐标值有两种表示法： ...
2019-04-20 18:28:14
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空空如也
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